Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и
Тимофею Григорьевичу Фоменко
ОГЛАВЛЕНИЕ
.
ВВЕДЕНИЕ.. Геометрические образы и ассоциации в математике
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ
.
1. Образы в топологии
2. Образы в теории многообразий
3. Образы в математическом анализе
4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
5. Образы в вариационном исчислении
6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
7. Образы в общематематических концепциях
144-163 164-183 184-203 204-222 223-229
Роман М.А.Булгакова "Мастер и Маргарита"
.
Иллюстрации 1-20
Иллюстрации 21-40
Иллюстрации 41-60
Иллюстрации 61-72
Работы А.Т.Фоменко на сайте virtualmathmuseum.
Статья о творчестве А.Т.Фоменко на сайте о творчестве ученых ARTS & SCIENCES wumath.wustl.edu
ВВЕДЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ И АССОЦИАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ
.
Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным вопросам, - например, в многомерной геометрии, в вариационном исчислении и т.п., - активно используется "наглядный жаргон", выработавшийся при исследовании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде - "разрежем поверхность", "склеим листы поверхности", "приклеим цилиндр", "вывернем сферу наизнанку", "присоединим ручку" и проч. Такая, - на первый взгляд "ненаучная" терминология, - отнюдь не прихоть математиков. Скорее, - "производственная необходимость". Математическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные образы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала "разглядеть" лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение.
.......................................................................................................................................
1. ОБРАЗЫ В ТОПОЛОГИИ
МАТЕМАТИКА:
РОГАТАЯ СФЕРА (СФЕРА АЛЕКСАНДЕ'РА)
Изображен объект, хорошо известный в трехмерной топологии. Наглядно демонстриуется один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая - дополнению к этому шару в пространстве. Обе эти области односвязны. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.
Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм - это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение).
Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых "диких") вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.
Вложение строится поэтапно и является "пределом" (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому - локально плоских) вложений. Нужно "зацепить пальцы рук" как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из "конца" каждого пальца" вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется.
"Переходя к пределу", мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оно не локально плоское в бесконечном числе точек. Замечательно, что получившаяся "рогатая сфера" разбивает трехмерное пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая - неодносвязна.
.
МИФОЛОГИЯ
Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т.п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), - противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывалось на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам. Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).
МАТЕМАТИКА:
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Справа видны сферы - простейшие 2-многообразия. Слева, как листья гигантских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху - тор, "бублик". На переднем плане - лист Мебиуса, в виде "скрещенного колпака". Здесь же - двумерные поверхности большого рода, т.е. сферы с большим числом ручек. А также - две поверхности, не являющиеся многообразиями. Это - сферы с тремя отождествленными точками. Получается нечто похожее на морское животное. Легко убедиться, что скрещенный колпак в действительности представляет собой лист Мебиуса. Он расположен в пространстве так, что его граница стала плоской окружностью. Проективная плоскость получается склейкой диска с листом Мебиуса по их общей границе. Поэтому "папоротник" связан как с листом Мебиуса, так и с проективной плоскостью. Проективную плоскость нельзя вложить в R^3 без самопересечений. Однако самопересечения можно устранить, "выйдя" в четырехмерное пространство.
.
МИФОЛОГИЯ
Путешественник испугался, случайно оказавшегося в этом диком зоопарке. Древние считали, что все объекты окружающего нас мира имеют душу (камни, реки, растения). Однако увидеть это могут далеко не все.
МАТЕМАТИКА:
ЛОКАЛЬНО ГОМОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Изображено двумерное топологическое пространство (бесконечный полиэдр), все группы гомологий которого тривиальны, то есть равны нулю. Это означает, что любой цикл на этой "поверхности" можно затянуть пленкой, т.е. представить в виде границы некоторой "пленки" на единицу бо'льшей размерности. В теории гомологий цикл, являющийся границей некоторой "пленки", считается тривиальным. Группы гомологий
- важные топологические инварианты пространств, естественно появляющиеся во многих вопросах геометрии, механики, математической физики. Цикл можно наглядно представлять себе как "поверхность" без границы.
Изображенный полиэдр содержит две замечательные точки. Одна из них
- в левом нижнем углу, а другая отнесена в бесконечность. Каждая из точек замечательна тем, что любая их открытая окрестность (не совпадающая со всем полиэдром), имеет нетривиальную (т.е. отличную от нуля) группу одномерных гомологий. Полиэдр склеен из бесконечного числа "раковин", каждая из которых изображается колпаком, верхушка которого приклеена (в одной точке) к основанию колпака. Если разрезать полиэдр в любом месте, то обязательно разрежется по крайней мере одна раковина. В результате в колпаке появится дырка. Она и является нетривиальным одномерным циклом, который нельзя затянуть пленкой, целиком лежащей внутри отрезанной части полиэдра.
Полиэдр сконструирован так. Отверстие каждой раковины заклеено "завитком" следующей раковины. Именно этим объясняется описанное свойство полиэдра. При приближении к особым точкам полиэдра, раковины уменьшаются.
.
МИФОЛОГИЯ
В средние века кое-где существовал запрет на ношение колец и узлов. Некоторые народы, - например, индусы, - находили замечательный выход. На руку надевали браслеты в виде незамкнутых спиралей. И не кольцо, и не узел, и красиво. Полинезийский жрец во время праздника иногда выходил со змеей, обвившейся вокруг руки по спирали.
А.Т.ФОМЕНКО МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ
Свежие комментарии